A pedagógiáról - harmadik rész

Kellemetlen lesz, amit most leírok. Ugyanis azt fogom állítani, hogy a tudományok formális logikai rendszerek létrehozása felé haladnak.

Egy formális logikai rendszer (ez sem pontos kifejezés) egy olyan tudásrendszer, amely meg van fosztva minden hétköznapi jelentéstől. Matematikailag axiómarendszer, szimbolikus logikai értelemben egy jól formált nyelv (elsőrendű nyelv). Én most maradnék a matematikai képnél.

Egy axiómarendszer nem definiált alapfogalmak, és nem bizonyított alaptételek, axiómák (kijelentések) egy halmaza. Szokás mondani, hogy az alapfogalmak és az axiómák a gyakorlatból, az empíriából származnak, az elvonatkoztatás művelete segítségével, azonban ez is problematikus. A geometriai pontról például sokan mondhatják, hogy olyan fogalom, amely elvonatkoztatással született. Az asztallap sarka, a füzetbe, papírlapra nyomott ceruzajel, és hasonlók nem pontok, viszont hozzájárulnak a pont fogalmának absztrakciójához - így az érvelés. Ám a geometriai pont-fogalomban nincs semmi, amihez az asztallap sarka, vagy a grafitjel már közel lenne. Ha sikerülne a megfelelő alapfogalmakat értelmezni rájuk, akkor a szemüvegek, vagy mondjuk a csillagok is lehetnének pontok, bármi lehetne pont, ez csak azon múlik valóban, hogy mit miképpen értelmezünk. A geometria axiómarendszere (a matematikafilozófia egyik paradigmája szerint) csak egy struktúra, azt mondja meg, hogy fiktív módon megnevezett, elgondolt dolgok milyen viszonyokban vannak egymással. Persze a matematikafilozófiának van még egy platonista és egy konstruktivista paradigmája is, de most nem ezzel akarok foglalkozni.

Egy tudományos paradigma igazán letisztult formájában egy axiómarendszer. Ilyen majdnem nincs. A matematikai axiómarendszerek nem ilyenek. A matematika azért különleges tudomány, mert éppen ezekkel a struktúrákkal foglalkozik, s nem azzal, hogy a tapasztalati világunkban mikre lehet őket ráhúzni. A fizikust viszont nem elsődlegesen az érdekli, hogy milyen az általa is használt gondolkodási rendszer, tudásrendszer struktúrája, hogyan fejezhető ki minél pontosabban egy axiómarendszerrel, hanem az érdekli, hogy az általa vizsgált anyagi rendszerekre vonatkoztatva az adott struktúrát, mit tud mondani számára a matematika, és amit mond, azt hogyan tudja lefordítani a "tényleges" anyagi rendszerekre, vagyis mit jelentenek ezek "ott". A fizika néhány elmélete van abban az állapotban, hogy van axiómarendszere, tehát a lehető legelvontabb formában van megfogalmazva. És ezzel talán vége is a sornak. Nem tolonganak a tudományok, hogy beadják az elméleteiket a Formalizáló Hivatalba, hogy szülessen rájuk axiómarendszer, elsőrendű nyelv.

Természetesen itt a kérdés, hogy lehet-e bármelyik tudomány bármelyik elméletét így formalizálni, és itt a kérdés, hogy érdemes-e (ha az előbbire igen a válasz). Nemhogy lehet, keményebbet állítok, a tudományok elméletei formalizálva vannak. Ez most nyilván kellően meglepő állítás, de máris érvelek. Mit jelent mondjuk a kognitív pszichológia formalizáltsága? Azt, hogy elvileg kell létezniük definiálatlan alapfogalmaknak, és nem bizonyított alaptételeknek, amelyekre aztán egy egész logikai építmény van felhúzva, amit nevezhetünk mondjuk kognitív pszichológiai tudásrendszernek (lényegében definiált fogalmakból, és bizonyított tételekből álló rendszer). Na de hol vannak alapfogalmak és axiómák? Senki nem olvasott egyetlen olyan könyvet sem, amelyben ezek lennének leírva. Persze a kognitív pszichológia tankönyveiben vannak fogalommagyarázatok, vannak logikus következtetések, és különösen igaz, hogy van rengeteg empirikus vizsgálatról, azok eredményeiről szóló leírás. Ám ha most tekintjük mindazokat a szövegeket, amelyeket kognitív pszichológiából írtak, lehántjuk az empirikus vizsgálatokról szóló részeket, akkor elvégezhető e maradék szövegeken egy elemző munka. Ez nem lenne nehéz, és valóban kivitelezhető: keressük meg benne (a szövegek korpuszában) a fogalomdefiníciókat és a bizonyításokat. Ezeknek ki kell elégíteniük bizonyos logikai követelményeket. Erre a tudósok törekszenek, tehát van jó esély rá, hogy sok ilyet találunk. Ami nem felel meg ennek, azt a szövegrészt kihajítjuk. Ami marad, az definíció, tételbizonyítás, és megfelel a logika kívánalmainak (és most hagyjuk azt a kérdést, hogy melyik logikáról van szó). Ha van két különböző eredményhez vezető fogalomdefiníció, amelyben azonban a definiált fogalmak ugyanazt a nevet kapták, akkor javítsuk a rendszert, adjunk az egyiknek más nevet. De akkor elvégezhető a következő elemzés is: nézzük meg, hogy melyek a definiáló fogalmak, azoknak mik a definícióik, az azokban szereplő definiáló fogalmaknak mik a definícióik, és így tovább. Ez a folyamat nem végtelen, hiszen itt egy véges korpuszról van szó. Két eset lehetséges: vagy eljutunk nem definiált fogalmak egy rendszeréhez, amelyekből aztán, mint gyökerekből indul a többi fogalom definiálása, és így az építmény teljesen rendben van, vagy az történik, hogy egy korábban már elemzett fogalmat használunk fel egy mélyebben lévő fogalom definiálására. Ez utóbbi esetben hibás logikailag a rendszer (ez jelentős különbség egy tudományos elmélet és egy hétköznapi tudásrendszer között). Javítani szükséges, meg kell szakítani valahol a rossz kört.

Hasonlót érdemes csinálni a kijelentésekkel, bizonyításokkal. Bármely kijelentés esetén igaz, hogy vagy nincs bizonyítása a rendszerben, és akkor axióma, vagy van bizonyítása, de akkor a bizonyításban további kijelentések szerepelnek. Ez utóbbiakat is megvizsgálhatjuk, hogy van-e bizonyításuk, és logikailag hibamentes rendszer esetén eljuthatunk a már nem bizonyított tételek halmazához. Ezek lesznek az axiómák. Itt is előfordulhatnak rossz körök, "körbebizonyítások", itt javításra lehet szükség.

És kérem szépen, itt áll előttünk a kognitív pszichológia formális rendszere. És nem tettem mást, csak a létező korpuszt elemeztem, esetleg kis javításokat eszközöltem. Ha valaki azt mondja, hogy a javítások már túl nagy belenyúlások, akkor azt mondom, hogy rendben, a rendszerben logikai hiba van, ezért nem formalizálható. De ugye nem azért nem formalizálható, mert az elvileg lehetetlen lenne. Tessék rendbe tenni, hiszen ebben az állapotban elemi tudományos követelményeknek sem felel meg. És ha kiirtódott minden hasonló hiba, akkor a rendszeren az előbbi műveletek elvégezhetők.

Ha elvégeznénk a kognitív pszichológián ezeket a műveleteket, mit kapnánk? Őszintén szólva, nagyon nem tudom megmondani, hogy érdekes lenne-e. Elképzelnem is nehéz. Nagyon valószínűnek tartom, hogy egy óriási axiómarendszerrel lenne dolgunk, hatalmas mennyiségű alapfogalommal, és szintén nagyon nagy számú axiómával. De lenne. Kicsi is, zöld is, de a miénk.

De érdemes-e elvégezni? Nem gondolom, hogy a kognitív pszichológusok minden munkájukat hátra hagyva, lélekszakadva rohannának elvégezni ezt a feladatot. Nem is lenne könnyű elvégezni természetesen, sőt! És más tudományokban sem úgy ment, hogy szövegkorpuszokat dolgoztak fel. Már maga Newton is, de követői még inkább keresték a mozgásokra vonatkozó törvényeknek azt a legszűkebb körét, amely segítségével (és persze megfelelő fogalomdefiníciókkal) felépíthető egy minél teljesebb (a mozgásjelenségek lehetőleg legnagyobb körére kiterjedő, tehát azok magyarázatában adaptív módon használható) tudásrendszer. Maxwell elvégezte a sok-sok elektromágneses törvény analízisét, és négy egyenletben összegezte az elektrodinamikát. A kvantummechanika nagy pillanatai voltak, amikor Schrödinger egyetlen egyenletben összegezte a lényeget (egyfajta interpretációban), vagy amikor Heisenberg rájött a határozatlansági relációra. Ezek ugyan nem axiómarendszerek még, de nagyon közel vannak hozzá, vannak is olyan leírások, amelyek matematikailag precízek. Vagyis a folyamat mindig az "egyszerűsödés" felé megy. A matematikusok is rettenetesen puritán emberek, amikor a szakmájukról van szó. Egy axiómarendszerben nincs semmi sallang. Ott a logikai felépítés a lényeg. Nem egy kődarab "valóságát" akarom leírni, a maga kimeríthetetlen összetettségében, hanem ha éppen a mozgása érdekel, és ott sem a tehetetlen forgása, akkor simán képzelhetem tömegpontnak, és alkalmazom rá a tömegpontokra vonatkozó törvényeket (értsd axiómarendszert). Piaget-t a gyermek kognitív fejlődése érdekelte, és ezért alkotott egy akár primitívnek is nevezhető modellt a gyermekről. A gyermek egy olyan valami, ami a vizsgált szempontból négyféle állapotban lehet, (ezek a fejlődés piaget-i szakaszai), amelyek egymást kizárják, és időben folytonos módon egymás után következnek. Ebből még ugyan nem jönne létre a gyermekek kognitív fejlődésének folyamatait leíró, valójában a gyermekekről egy adott vonatkozásban szóló axiómarendszer, szükség van még további alapfogalmak bevezetésére, és még axiómákra is, de a feladat végrehajtható lenne.

Megérné? Én azt hiszem, igen. Sok mindent kideríthetnénk az elméleteinkről. Hogy mennyire teljesek. Hogy nem ellentmondásosak-e. Hogy mennyire primitívek (miközben tankönyveinkben rettenetes nagyképűséggel ecseteljük az összetettségüket). Hogy mi minden következik belőlük, és mi nem. Kiderülnének a "turpisságok", hogy logikai ellentmondás van a rendszerben, körbedefiniálások, amelyek nem hagyhatók úgy. Tisztulna az egész.

Mi a köze mindennek az empíriához? Első megközelítésben semmi. Az axiómarendszerek matematikai konstrukciók, bárki alkothat bármilyen axiómarendszert, azzal kell csak számolnia, hogy legföljebb a kutya sem figyel rá, mert érdektelen (most még) a műve. Ezek a struktúrák ráadásul még tartalomfüggetlenek is, értve ezalatt azt a tulajdonságukat, hogy a maguk valójában nem kötődnek konkrét anyagi, valóságos rendszerekhez, ez a hozzákötés már az alkalmazás kérdése. Ez a tartalomfüggetlenség eszméletlenül jó dolog. A differenciálegyenleteket - egy kis túlzással - bármely tudomány, illetve gyakorlati terület tudja alkalmazni. A fraktálok nagyon hasznos elemző eszközök a fizikában, a kémiában, a közgazdaságtanban, és állítólag ma már a pedagógiában is (de a káosz fogalomról ez biztosan állítható). Persze a valóságos tudománytörténeti folyamatokban inkább az a jellemző, hogy egy-egy matematikai struktúra konkrét igények alapján jön létre, de ahogy létrejött, akármire használható (amire egyáltalán lehet persze). A gyakorlat, az empíria ezen a módon is szerepet játszik tehát (vagyis az axiómarendszerek, a matematikai struktúrák kialakulásakor), de természetesen az alkalmazásban is. Ez az utóbbi mozzanat egyben ezeknek a tudásrendszereknek az adaptivitásáról is tájékoztat. Hasznos? Hoz érdekes és fontossá váló, alkalmazható eredményeket? Akkor adaptív. Egy körben, bizonyos alkalmazásokban.

Már írtam róla, hogy ez a gondolkodásmód élesen szemben áll a pozitivistával. A fogalmak, a kijelentések hitelét a pozitivista gondolkodásmódban az empíria szolgáltatja, az általam itt vázoltban a logikai tisztaság. Hogy alkalmazható-e, az egy másik kérdés. És persze a tudósok kellően gyarló emberek - szerencsére - ezért amikor struktúrákat keresnek, nagyon is praktikus megfontolásaik vannak. Szeretnék, ha használni is lehetne az alkotásukat. Sőt, a használat az esetek egy nagy részében bizonyos értelemben előbb van, valós igényekből indulnak ki sokszor a kutatások, talán az esetek döntő többségében.

Csináltam-e én magam már matematikailag precíz pedagógiai paradigmát? Nem. Volt egy próbálkozásom, és lehet, hogy visszatérek még rá. Ez a próbálkozás a társadalmi mobilitás iskolarendszer által befolyásolt folyamatai egy "minimalista modelljének" kialakítása volt, de nem volt elég időm a kidolgozására. Nagyon vonzó volt a feladat, hogy a társadalmat, az iskolát, a tanulást, a gyermeket néhány alapfogalommal, majd axiómával specifikáljam egy kellően egyszerű modellben, amelynek működtetésével képes lehetnék leírni a mobilitási folyamatokat, az esélyegyenlőtlenségek keletkezését, kezelésük különböző módjait és ezek következményeit, stb.

Na, ennyit a dologról. Lehet, hogy kevesebb lett, mint amit bele lehetett gondolni, nekem is van hiányérzetem. Talán majd később még visszatérek, és belemegyek bizonyos részletekbe.

Még valamit a végére! Ha valaki azt hinné, hogy amit itt felvázoltam, az egy undorítóan dehumanizált dolog, kilúgozott, embertelen, nélkülöz minden szépséget, akkor azt kell mondanom, hogy nagyon-nagyon téved. A matematika képes rá, hogy a dolgokban igazán mélyen meglévő szépséget segítsen kihozni. Aki egyetemi szinten tanult matematikát, az mind (szerintem nincs kivétel) állítja, hogy a matematika szép. És nagyon emberi. Még akkor is, ha a számítógép (és semmi más egyébként) részben tudja reprodukálni a matematikai alkotás bizonyos elemeit. Az intuíció, a beleérzés, a szabályosságok és ellentéteik, a szabályok sértéseinek észrevétele, a gondolkodás szabadsága együtt a logika fegyelmével (miközben lehet alternatív logikákon is gondolkodni, vagyis szinte teljes a szabadság) - lehet-e ennél szebb valami? Persze, lehet, ez nem kétséges, de azt állítani, hogy ez nem lehet szép, botorság.